В математике уравнение с равными корнями является особой формой уравнения, где значение неизвестной переменной приводит к одному и тому же результату. Это означает, что уравнение имеет только один корень, который повторяется дважды.
Когда уравнение имеет равные корни, это означает, что его график пересекает ось абсцисс только в одной точке. Это может быть полезным в различных областях науки и инженерии, так как позволяет решать сложные задачи с помощью простых математических выражений.
Примером уравнения с равными корнями является квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты, и x - неизвестная переменная. Если дискриминант уравнения (D = b^2 - 4ac) равен нулю, то уравнение имеет равные корни.
Например, рассмотрим уравнение x^2 - 4x + 4 = 0. Его дискриминант равен 0, поэтому уравнение имеет только один корень, который равен 2.
Что такое уравнение с равными корнями?
Такие уравнения могут быть записаны в виде:
(x - a)2 = 0
где x - переменная, а a - число, являющееся значением корней уравнения.
Если мы решим это уравнение, то получим:
(x - a)2 = 0
x - a = 0
x = a
Таким образом, корнем уравнения будет число a. Например, в уравнении x2 - 6x + 9 = 0 корень равен 3. Это означает, что уравнение с равными корнями имеет решение x = 3.
Уравнения с равными корнями могут быть полезны для выявления симметрий и нахождения особых точек на графиках функций. Кроме того, они имеют значительное значение в алгебре и квадратичных уравнениях.
Виды уравнений с равными корнями
Уравнение с равными корнями имеет особый вид, когда оба корня уравнения совпадают. Это означает, что уравнение имеет только одно решение.
| Вид уравнения | Пример |
|---|---|
| Квадратное уравнение | x2 - 6x + 9 = 0 |
| Линейное уравнение | 3x + 6 = 0 |
| Рациональное уравнение | (x - 2) / (x - 2) = 0 |
| Иррациональное уравнение | √(x - 3) = 2 |
Во всех этих случаях уравнение имеет только одно решение, которое является корнем уравнения.
Как найти корни уравнения с равными корнями?
Чтобы найти корни такого уравнения, необходимо выполнить следующие шаги:
- Раскрыть скобку в уравнении (x - a)^2 = 0, получив x^2 - 2ax + a^2 = 0.
- Собрать все члены на одной стороне уравнения, чтобы получить квадратный трехчлен вида x^2 - 2ax + a^2 = 0.
- Сравнить полученное уравнение с общим видом квадратного трехчлена ax^2 + bx + c = 0. Видим, что a = 1, b = -2a, c = a^2.
- Подставить полученные значения a, b и c в формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac и вычислить его значение.
- Если значение дискриминанта D = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный a. Выполнить проверку подстановкой этого значения в исходное уравнение.
Например, рассмотрим уравнение (x - 3)^2 = 0:
- Раскрываем скобку: x^2 - 6x + 9 = 0.
- Переносим все члены на одну сторону: x^2 - 6x + 9 - 9 = 0 - 9, что приводит к виду x^2 - 6x = -9.
- Сравниваем с общим видом квадратного трехчлена: a = 1, b = -6, c = 0.
- Вычисляем дискриминант: D = (-6)^2 - 4 * 1 * 0 = 36 - 0 = 36.
- Так как D = 36 > 0, то уравнение имеет два различных корня.
Таким образом, уравнение (x - 3)^2 = 0 имеет два корня: x1 = x2 = 3.
Примеры уравнений с равными корнями
Уравнение с равными корнями имеет вид:
ax2 + bx + c = 0
где a, b и c это некоторые числа.
Примеры уравнений с равными корнями:
Пример 1: x2 - 6x + 9 = 0
Решение:
В данном примере a = 1, b = -6 и c = 9.
Находим дискриминант по формуле D = b2 - 4ac:
D = (-6)2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0
Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть одно решение.
Решим уравнение:
x = -b/2a = -(-6)/2(1) = 6/2 = 3
Ответ: x = 3.
Пример 2: -4x2 + 12x - 9 = 0
Решение:
В данном примере a = -4, b = 12 и c = -9.
Находим дискриминант по формуле D = b2 - 4ac:
D = (12)2 - 4(-4)(-9) = 144 - 144 = 0
Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть одно решение.
Решим уравнение:
x = -b/2a = -12/2(-4) = 12/8 = 3/2
Ответ: x = 3/2.
Это лишь два примера уравнений с равными корнями. В обоих случаях дискриминант равен нулю, что означает, что уравнения имеют одно решение, которое можно найти по формуле x = -b/2a.
Уравнение с равными корнями: геометрическая интерпретация
Уравнение с равными корнями представляет собой особый случай квадратного уравнения, в котором дискриминант равен нулю. Это означает, что уравнение имеет один и тот же корень дважды.
Геометрическая интерпретация такого уравнения связана с графиком квадратной функции. Квадратная функция представляет собой параболу, которая может быть направленной вниз (когда коэффициент при x^2 отрицательный) или вверх (когда коэффициент при x^2 положительный).
Если уравнение имеет равные корни, то это означает, что парабола пересекает ось x в одной точке, которая является вершиной параболы. В случае параболы, направленной вниз, это будет вершина максимума, а в случае параболы, направленной вверх, это будет вершина минимума.
Графически это выглядит следующим образом:
| Парабола, направленная вниз | Парабола, направленная вверх |
|---|---|
 |  |
На графике видно, что парабола пересекает ось x только в одной точке, что соответствует уравнению с равными корнями. Также можно заметить, что вершина параболы является ее особым участком, где значение функции достигает экстремальных значений.
Пример уравнения с равными корнями: x^2 + 4x + 4 = 0. Дискриминант этого уравнения равен 0, поэтому оно имеет один и тот же корень x = -2.
Значение уравнений с равными корнями в реальной жизни
Одним из примеров уравнения с равными корнями, которое имеет практическую значимость, является квадратное уравнение. Когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю, оно имеет только один корень. Это значит, что уравнение описывает ситуацию, когда график параболы, являющейся графиком этого уравнения, касается оси абсцисс только один раз. В реальной жизни такая ситуация может возникнуть, например, при определении времени полета объекта, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью и гравитацией.
Другим примером уравнения с равными корнями может быть линейное уравнение, когда коэффициенты при переменных обнуляются. В таком случае, это уравнение описывает ситуацию, когда прямая линия параллельна оси абсцисс. Например, если рассматривать модель прямой движущейся машины, где ось абсцисс соответствует времени, а ось ординат - расстоянию, то такое уравнение может описывать ситуацию, когда машина движется со скоростью, равной нулю. Это может быть полезно, например, при изучении остановочных пунктов в графиках движения транспортных средств.
