Внешний угол треугольника - это угол, расположенный снаружи треугольника в месте его пересечения с продолжением одной из его сторон. Этот угол формируется при соединении этой стороны треугольника с продолжением соседней стороны.
Свойства внешнего угла треугольника можно обратить при рассмотрении пары внутреннего и внешнего углов, образованных пересекающимися сторонами треугольника. Внешний угол треугольника всегда больше любого из его внутренних углов. Это означает, что сумма внутреннего и внешнего угла, образованного одной и той же стороной треугольника, всегда равна 180 градусов.
Примером внешнего угла треугольника может служить угол, образованный продолжением стороны треугольника и продолжением соседней стороны. В этом случае внешний угол может быть больше 180 градусов и называется выпуклым углом. Также возможен случай, когда внешний угол может быть равным 180 градусов и будет означать, что внутреннего угла, образованного соседними сторонами треугольника, не существует.
Внешний угол треугольника: определение
Углы треугольника делятся на внутренние и внешние. Внутренние углы находятся внутри треугольника, в то время как внешние углы находятся вне треугольника.
Внешний угол треугольника определяется суммой двух внутренних углов, соседних с данной стороной, и всегда равен 180 градусам.
Внешние углы треугольника имеют несколько свойств:
- Сумма всех внешних углов треугольника всегда равна 360 градусов.
- Каждый внешний угол треугольника является дополнительным к одному из внутренних углов треугольника.
- Наибольший внешний угол треугольника образуется продолжением наибольшей стороны треугольника.
Например, если треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC, то внешний угол, образованный продолжением стороны AB, будет дополнительным к внутреннему углу треугольника BAC.
Что такое внешний угол треугольника?
Свойства внешнего угла треугольника:
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
- Внешний угол всегда больше любого из внутренних углов треугольника.
- Противолежащий внешнему углу внутренний угол треугольника является его смежным.
Например, если в треугольнике есть углы А, В и С, и АВ является одной из сторон, то внешний угол треугольника будет образован продолжением стороны С.
Внешний угол треугольника: свойства
- Внешний угол треугольника - это угол, образованный продолжением одной из его сторон и продолжением смежной стороны.
- Значение внешнего угла треугольника равно сумме двух других углов.
- Внешний угол треугольника всегда больше любого из его внутренних углов.
- Сумма всех внешних углов треугольника равна 360 градусам.
- Если продолжить все стороны треугольника, образуется внешний треугольник, который является подобным и противоположно ориентированным по сравнению с исходным треугольником.
- Один из внешних углов треугольника всегда равен сумме второго и третьего внутренних углов.
Основные свойства внешнего угла треугольника
Основные свойства внешнего угла треугольника:
- Внешний угол треугольника всегда больше любого из его внутренних углов. Это означает, что мера внешнего угла всегда больше 0° и меньше 180°.
- Сумма мер внешнего угла треугольника и соответствующего ему внутреннего угла равна 180°. Пример: если мера внутреннего угла треугольника равна 80°, то мера соответствующего внешнего угла будет 180° - 80° = 100°.
- Внешние углы треугольника образуют смежные (дополняющие) углы с его внутренними углами. Это означает, что сумма мер внешнего угла и смежного внутреннего угла равна 180°.
- Каждый внешний угол треугольника имеет свое соответствующее внутреннее противоположное угловое направление.
Изучение основных свойств внешнего угла треугольника позволяет более полно понять его внутренние и внешние углы, а также использовать их при решении различных геометрических задач.
Внешний угол треугольника: примеры
- Пример 1: В треугольнике ABC дан внешний угол ACD. Угол C продолжается за пределы треугольника, а сторона AD является продолжением стороны AC. Тогда угол ACD будет внешним углом треугольника ABC.
- Пример 2: В треугольнике PQR дан внешний угол PQS. Угол R продолжается за пределы треугольника, а сторона PS является продолжением стороны PQ. Тогда угол PQS будет внешним углом треугольника PQR.
- Пример 3: В треугольнике XYZ дан внешний угол YZX. Угол X продолжается за пределы треугольника, а сторона XZ является продолжением стороны YZ. Тогда угол YZX будет внешним углом треугольника XYZ.
Внешние углы треугольника имеют несколько свойств, включая то, что сумма всех внешних углов треугольника равна 360 градусов. Это свойство можно наглядно продемонстрировать, сложив все внешние углы треугольника вокруг центральной точки.
Примеры нахождения внешних углов треугольников
Пример 1:
Рассмотрим треугольник ABC, у которого стороны равны:
- AB = 5 см;
- AC = 7 см;
- BC = 8 см.
Чтобы найти внешний угол треугольника ABC, нужно:
- Найти внутренний угол треугольника ABC. По теореме косинусов находим косинус угла BAC:
- Найти внутренний угол треугольника ABC. Извлекаем арккосинус от найденного значения косинуса:
- Найти внешний угол треугольника ABC. Угол внешний по отношению к ∠BAC, и его величина равна сумме ∠BAC и 180°:
cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)
cos(∠BAC) = (5² + 7² - 8²) / (2 * 5 * 7)
cos(∠BAC) ≈ 0.744
∠BAC ≈ arccos(0.744) ≈ 42.24°
∠CAB' = ∠BAC + 180° ≈ 42.24° + 180° ≈ 222.24°
Таким образом, внешний угол треугольника ABC равен примерно 222.24°.
Пример 2:
Рассмотрим треугольник XYZ, у которого стороны равны:
- XY = 3 см;
- XZ = 4 см;
- YZ = 6 см.
Чтобы найти внешний угол треугольника XYZ, нужно:
- Найти внутренний угол треугольника XYZ. По теореме косинусов находим косинус угла YXZ:
- Найти внутренний угол треугольника XYZ. Извлекаем арккосинус от найденного значения косинуса:
- Найти внешний угол треугольника XYZ. Угол внешний по отношению к ∠YXZ, и его величина равна сумме ∠YXZ и 180°:
cos(∠YXZ) = (XY² + XZ² - YZ²) / (2 * XY * XZ)
cos(∠YXZ) = (3² + 4² - 6²) / (2 * 3 * 4)
cos(∠YXZ) ≈ -0.583
∠YXZ ≈ arccos(-0.583) ≈ 126.89°
∠ZX'Y = ∠YXZ + 180° ≈ 126.89° + 180° ≈ 306.89°
Таким образом, внешний угол треугольника XYZ равен примерно 306.89°.
