Умножение квадратной матрицы на квадратную – правила и примеры

Умножение квадратных матриц – востребованная операция в линейной алгебре, особенно в программировании и физике. Знание правил и принципов умножения матриц позволяет эффективно решать сложные задачи. Квадратные матрицы являются основным объектом для умножения. Данный процесс имеет свои правила и особенности, которые следует усвоить для качественного решения задач.

Умножение квадратных матриц проводится по схеме «строка на столбец». В результате операции получается новая матрица, размерность которой равна размерности исходных матриц. Размерность матрицы определяется числом строк и столбцов.

Чтобы получить элемент новой матрицы, необходимо перемножить элементы строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы и сложить полученные произведения:

c_i,j = a_i,1⋅b_1,j + a_i,2⋅b_2,j + … + a_i,n⋅b_n,j

Где c_i,j – элемент новой матрицы, a_i,k – элемент матрицы А, расположенный в i-й строке и k-м столбце, b_k,j – элемент матрицы В, расположенный в k-й строке и j-м столбце. Произведение элементов суммируется и записывается в i,j-й элемент новой матрицы.

Определение умножения матриц

Умножение квадратных матриц осуществляется путем умножения соответствующих элементов строк первой матрицы на соответствующие элементы столбцов второй матрицы и получения суммы произведений.

Пусть у нас есть две матрицы A и B размерности n x n:

Тогда матрица C размерности n x n, полученная умножением матриц A и B, будет иметь следующий вид:

Элемент матрицы C на позиции (i, j) вычисляется по формуле:

c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + … + a_in * b_nj

Процесс умножения матриц можно представить как комбинацию скалярных произведений строк первой матрицы и столбцов второй матрицы.

Умножение матриц широко используется в различных областях, таких как компьютерная графика, физика, экономика и многие другие.

Что такое умножение матриц?

Умножение матриц используется в различных областях, включая линейную алгебру, программирование, статистику и другие. Эта операция позволяет комбинировать информацию из двух и более матриц, что может быть полезным для анализа и обработки данных.

Правила умножения матриц определяют, как нужно умножать элементы матрицы-источника на элементы матрицы-множителя, чтобы получить элементы результирующей матрицы. Для этого нужно перемножить элементы каждой строки матрицы-источника на элементы каждого столбца матрицы-множителя, суммировать результаты и записать их в соответствующую ячейку результирующей матрицы.

Процесс умножения матриц может быть сложным и требует точности в вычислениях. Поэтому очень важно правильно применять правила умножения, чтобы получить корректный результат.

Как умножать матрицы?

Для умножения элементов матрицы используется следующее правило: каждый элемент полученной матрицы высчитывается как сумма произведений элементов соответствующих строк и столбцов исходных матриц. Например, элемент C_ij полученной матрицы будет равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй матрицы.

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть две матрицы:

и

Умножим их. По правилу умножения получим следующую матрицу:

Как результат получим:

Итак, результат умножения этих двух матриц – это новая матрица размером 2×2.

Правила умножения квадратных матриц

Если у нас есть две квадратные матрицы A и B размерности n x n, то матрица C, полученная в результате их умножения, будет также квадратной матрицей размерности n x n.

Правило умножения квадратных матриц состоит в следующем:

Для каждого элемента матрицы C, находящегося на позиции (i,j), мы умножаем каждый элемент i-й строки матрицы A на каждый элемент j-го столбца матрицы B, а затем суммируем все полученные произведения. Таким образом, элементу c_ij матрицы C соответствует следующая операция:

c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + … + a_in * b_nj

Пример:

Рассмотрим две квадратные матрицы:

A = [[1, 2], [3, 4]]

B = [[5, 6], [7, 8]]

Для умножения матриц A и B применим правило:

c₁₁ = 1 * 5 + 2 * 7 = 19

c₁₂ = 1 * 6 + 2 * 8 = 22

c₂₁ = 3 * 5 + 4 * 7 = 43

c₂₂ = 3 * 6 + 4 * 8 = 50

Таким образом, результатом умножения матриц A и B будет матрица C:

C = [[19, 22], [43, 50]]

Правила умножения квадратных матриц являются основой для решения многих задач в алгебре, геометрии, экономике и других областях науки и техники.

Первое правило

Для выполнения умножения квадратных матриц необходимо убедиться, что количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице.

Например, умножение матрицы A размером 2×2 на матрицу B размером 2×2 может быть выполнено следующим образом:

A = |a11 a12| B = |b11 b12|

       |a21 a22|      |b21 b22|

Результирующая матрица C размером 2×2 будет выглядеть следующим образом:

C = |c11 c12|

         |c21 c22|

Где:

c11 = a11*b11 + a12*b21

c12 = a11*b12 + a12*b22

c21 = a21*b11 + a22*b21

c22 = a21*b12 + a22*b22

В результате, каждый элемент результирующей матрицы C будет содержать сумму произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и столбцов второй матрицы. Это и является основным принципом умножения квадратных матриц.

Второе правило

Второе правило умножения квадратной матрицы на квадратную заключается в следующем: для получения элемента произведения матрицы A и B на позиции (i, j) нужно взять сумму произведений элементов i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B.

Математически это выглядит следующим образом:

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj

где a_ij — элемент матрицы A на позиции (i, j), b_ij — элемент матрицы B на позиции (i, j), c_ij — элемент произведения матрицы A и B на позиции (i, j).

Пример:

Пусть имеются две квадратные матрицы A и B:

A = [1 2 3] B = [4 5 6]

[4 5 6] [7 8 9]

[7 8 9] [1 2 3]

Чтобы получить элемент произведения матриц на позиции (2, 1), нужно умножить вторую строку матрицы A на первый столбец матрицы B:

c₂₁ = a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁ = 4*4 + 5*7 + 6*1 = 70

Таким образом, элемент произведения матриц A и B на позиции (2, 1) равен 70.

Третье правило

Третье правило умножения квадратной матрицы на квадратную заключается в следующем:

Для перемножения матрицы A размером n x n на матрицу B размером n x n нужно взять строку из матрицы A и столбец из матрицы B. Далее, каждый элемент строки умножается соответствующим элементом столбца, и полученные произведения суммируются. Результатом будет элемент новой матрицы, находящийся на пересечении строки и столбца.

Процесс умножения повторяется для каждой строки матрицы A и каждого столбца матрицы B. В итоге получается новая матрица C размером n x n, где каждый элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B.

Для наглядности можно представить результатный элемент новой матрицы в виде:

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj

Где:

• c_ij — элемент новой матрицы C;
• a_i1, a_i2, …, a_in — элементы i-й строки матрицы A;
• b_1j, b_2j, …, b_nj — элементы j-го столбца матрицы B.

Третье правило является основой алгоритма умножения матриц и позволяет найти произведение двух квадратных матриц одинакового размера.

Результатом умножения матриц A и B будет матрица C, где элемент c_ij будет равен:

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj

Пример умножения матриц

Рассмотрим пример умножения двух матриц:

и

Их произведением будет матрица:

Примеры умножения квадратных матриц

Рассмотрим несколько примеров умножения квадратных матриц:

Пример 1:

Даны две матрицы:

А =

[2 4]

[1 3]

В =

[5 6]

[7 8]

Умножим матрицы А и В:

А * В =

(2 * 5 + 4 * 7) (2 * 6 + 4 * 8)

(1 * 5 + 3 * 7) (1 * 6 + 3 * 8)

=

(10 + 28) (12 + 32)

(5 + 21) (6 + 24)

=

38 44

26 30

Пример 2:

Даны две матрицы:

А =

[1 2 3]

[4 5 6]

[7 8 9]

В =

[9 8 7]

[6 5 4]

[3 2 1]

Умножим матрицы А и В:

А * В =

(1 * 9 + 2 * 6 + 3 * 3) (1 * 8 + 2 * 5 + 3 * 2) (1 * 7 + 2 * 4 + 3 * 1)

(4 * 9 + 5 * 6 + 6 * 3) (4 * 8 + 5 * 5 + 6 * 2) (4 * 7 + 5 * 4 + 6 * 1)

(7 * 9 + 8 * 6 + 9 * 3) (7 * 8 + 8 * 5 + 9 * 2) (7 * 7 + 8 * 4 + 9 * 1)

=

(9 + 12 + 9) (8 + 10 + 3) (7 + 8 + 3)

(36 + 30 + 18) (32 + 25 + 12) (28 + 20 + 6)

(63 + 48 + 27) (56 + 40 + 18) (49 + 32 + 9)

=

30 21 18

84 69 54

138 114 90

Примеры умножения квадратных матриц показывают, что результатом умножения матриц является новая матрица, размерность которой равна размерности исходных матриц.

Пример 1

Рассмотрим пример умножения двух квадратных матриц:

Пусть даны две матрицы:

A = {{1, 2}, {3, 4}}

B = {{5, 6}, {7, 8}}

Чтобы найти произведение матриц A и B, нужно умножить каждый элемент строки матрицы A на соответствующий элемент столбца матрицы B и сложить полученные результаты.

Таким образом:

A * B = {{1*5 + 2*7, 1*6 + 2*8}, {3*5 + 4*7, 3*6 + 4*8}}

Выполняя вычисления, получаем:

A * B = {{19, 22}, {43, 50}}

Таким образом, произведение матриц A и B равно {{19, 22}, {43, 50}}.

Пример 2

Рассмотрим пример умножения двух квадратных матриц:

Матрица А:

1 2

3 4

Матрица B:

5 6

7 8

Для умножения матриц A и B нужно по правилу перемножить элементы первого столбца первой матрицы на элементы первой строки второй матрицы:

1*5 + 2*7 = 19

1*6 + 2*8 = 22

Аналогично для остальных элементов матрицы:

3*5 + 4*7 = 43

3*6 + 4*8 = 50

Итак, результат умножения матриц A и B:

Матрица C:

19 22

43 50