Вынесение квадратного уравнения в квадрат — это одна из основных техник решения квадратных уравнений, которая позволяет найти корни уравнения с помощью преобразований и вычислений. Суть этой техники заключается в том, чтобы привести уравнение к виду, в котором все члены собраны в квадраты. Это позволяет с легкостью решить уравнение и найти все его корни.
Для вынесения квадратного уравнения в квадрат нужно знать несколько основных правил. Во-первых, следует привести уравнение к виду, где все слагаемые с переменными собраны в одной части, а свободный член — в другой. Затем требуется выделить полный квадрат из собранных слагаемых с переменными. Для этого необходимо возвести в квадрат половину коэффициента при переменной и прибавить эту же величину, таким образом, чтобы в результате получилось полное квадратное выражение.
После выделения полного квадрата уравнение превращается в сумму квадратов, которую можно просто разложить на множители и найти корни уравнения. Примеры вынесения квадратного уравнения в квадрат помогут лучше понять эту технику и научиться применять ее в практике.
- Что такое квадратное уравнение?
- Что значит «вынести квадратное уравнение в квадрат»?
- Какие условия должны быть выполнены?
- Первый шаг: убрать свободный член
- Второй шаг: разделить на 2 и возвести в квадрат
- Третий шаг: привести подобные и перенести свободный член
- Пример 1: вынесение квадратного уравнения в квадрат
- Пример 2: вынесение квадратного уравнения в квадрат
Что такое квадратное уравнение?
Решение квадратного уравнения означает нахождение значений переменной x, при которых уравнение становится верным. Ответом на квадратное уравнение могут быть одно, два или даже ни одного решения. Если оба решения являются действительными числами, то говорят, что у уравнения есть два корня.
Для решения квадратного уравнения обычно используют формулу дискриминанта: D = b^2 — 4ac. Зная значение дискриминанта, можно определить тип корней уравнения: если D > 0, то у уравнения два различных корня; если D = 0, то у уравнения ровно один корень; если D < 0, то у уравнения нет действительных корней, но есть комплексные корни.
| Тип корней | Дискриминант |
|---|---|
| Два различных корня | D > 0 |
| Ровно один корень | D = 0 |
| Нет действительных корней | D < 0 |
Квадратные уравнения широко применяются в различных областях математики и физики, а также в практических задачах. Решение таких уравнений позволяет найти значения переменных, которые соответствуют определенным условиям и задачам, и может иметь важное значение при моделировании природных процессов или оптимизации заданий.
Что значит «вынести квадратное уравнение в квадрат»?
Процесс вынесения уравнения в квадрат включает следующие шаги:
- Получаем вид уравнения вида ax^2 + bx = -c.
- Выносим общий множитель a из первых двух членов уравнения и получаем a(x^2 + (b/a)x) = -c.
- Добавляем и вычитаем квадрат половины коэффициента при x, т.е. (b/2a)^2, и получаем уравнение a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 — (b/2a)^2) = -c.
- Факторизуем часть внутри скобок и сворачиваем квадратное выражение, получаем a((x + b/2a)^2 — (b/2a)^2) = -c или a(x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 — c.
- Делим обе части уравнения на a, получаем итоговую форму уравнения (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 — c/a.
Результатом вынесения уравнения в квадрат является уравнение вида (x + p)^2 = q, где p = b/2a и q = (b/2a)^2 — c/a — новые коэффициенты.
Теперь, зная формулу для решения квадратного уравнения, можно найти значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.
Какие условия должны быть выполнены?
Другим важным условием является наличие только двух членов в квадратном уравнении – члена с переменной во второй степени и члена без переменной. Если в уравнении присутствуют другие члены, их нужно перенести на одну сторону равенства перед вынесением в квадрат.
Также, для того чтобы вынести квадратно уравнение в квадрат, необходимо, чтобы коэффициент при переменной в первой степени был равен 0.
При соблюдении этих условий, можно приступить к вынесению квадратного уравнения в квадрат и получению нового равенства, которое можно решить с помощью изученных методов.
Первый шаг: убрать свободный член
Допустим, дано квадратное уравнение:
ax^2 + bx + c = 0
Где a, b и c — коэффициенты уравнения.
Чтобы убрать свободный член c, нужно перенести его на другую сторону уравнения:
ax^2 + bx = -c
Таким образом, свободный член исчезает из левой части уравнения и появляется с отрицательным знаком в правой части.
После удаления свободного члена уравнение готово для следующего шага — вынесения общего множителя за скобку.
Второй шаг: разделить на 2 и возвести в квадрат
Чтобы вынести квадратный трехчлен в квадрат и получить квадрат полного квадратного бинома, нужно выполнить следующие действия:
- Разделить линейный член на 2.
- Возвести полученное значение в квадрат.
К примеру, у нас есть квадратный трехчлен 3x + 4. Чтобы вынести его в квадрат, мы сначала разделим линейный член на 2:
3x / 2 + 4 / 2 = 1.5x + 2
Затем возводим полученный линейный член в квадрат:
(1.5x)² = 2.25x²
Итак, квадрат полного квадратного бинома 3x + 4 равен (1.5x)² = 2.25x².
Этот метод поможет вам с легкостью выносить квадратные трехчлены в квадрат и решать уравнения с ними.
Третий шаг: привести подобные и перенести свободный член
После вынесения квадратного уравнения в квадрат и раскрытия скобок, следующим шагом необходимо привести подобные члены и перенести свободный член. При этом необходимо сконцентрироваться на переменных и их степенях, а также на свободном члене.
Для приведения подобных членов в квадратном уравнении нужно сложить или вычесть коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Например, если у нас есть уравнение 3x^2 + 4x^2 — 2x + 5 = 0, необходимо сложить коэффициенты при x^2 и вычесть коэффициенты при x.
После приведения подобных членов, следует перенести свободный член на другую сторону уравнения (в данном случае на правую). Например, при исходном уравнении 3x^2 + 4x^2 — 2x + 5 = 0, свободный член 5 нужно перенести на правую сторону, меняя при этом знак на противоположный.
После выполнения третьего шага у нас останется уравнение вида 7x^2 — 2x = -5, готовое к решению дальше.
Пример 1: вынесение квадратного уравнения в квадрат
Для наглядного понимания процесса вынесения квадратного уравнения в квадрат, рассмотрим пример.
Пусть дано квадратное уравнение:
8x^2 + 12x + 4 = 0
Шаг 1. Выносим общий множитель за скобки. В данном случае это число 4:
4 * (2x^2 + 3x + 1) = 0
Шаг 2. Делим коэффициент при x на 2 и возводим результат в квадрат:
3 / 2 = 1.5
(2x + 1.5)^2
Шаг 3. Вычитаем квадрат полученного значения из исходного уравнения:
(2x^2 + 3x + 1) — (2x + 1.5)^2 = 0
Шаг 4. Раскрываем квадрат и сводим подобные слагаемые:
(2x^2 + 3x + 1) — (4x^2 + 6x + 2.25) = 0
(-2x^2 — 3.5x — 1.25) = 0
Таким образом, вынесенное квадратное уравнение имеет вид:
-2x^2 — 3.5x — 1.25 = 0
Это и есть ответ на задачу по вынесению квадратного уравнения в квадрат.
Пример 2: вынесение квадратного уравнения в квадрат
Давайте рассмотрим еще один пример вынесения квадратного уравнения в квадрат.
Пусть дано следующее квадратное уравнение:
3x2 + 12x + 9 = 0
Чтобы вынести его в квадрат, мы должны преобразовать его в формулу:
(ax + b)2 = 0
Чтобы сформировать это уравнение, мы должны выполнить следующие шаги:
1. Найдем коэффициенты a и b. В данном примере a = 3 и b = 6.
2. Подставим коэффициенты a и b в формулу (ax + b)2. Получим:
(3x + 6)2 = 0
3. Раскроем квадрат, используя формулу (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:
9x2 + 36x + 36 = 0
Теперь у нас получилось квадратное уравнение в квадрате.
Решим его используя известные методы, например, метод факторизации или квадратное уравнение может быть решено с использованием формулы дискриминанта.
Итак, в этом примере мы видим, как можно вынести квадратное уравнение в квадрат, преобразовав его в более простую форму.