Обратная матрица – это такая матрица, которая при умножении на исходную матрицу даёт единичную матрицу. В матричной алгебре нахождение обратной матрицы является важной операцией. Особенно это актуально для квадратных матриц, включая матрицы размерности 2х2.
Для нахождения обратной матрицы 2х2 требуется выполнение следующих шагов. Пусть исходная матрица задана следующим образом:
А = [ a b ]
[ c d ]
В случае, когда определитель матрицы А (|A|) не равен 0, обратная матрица может быть найдена по следующей формуле:
A^(-1) = 1/|A| * [ d -b ]
[ -c a ]
Здесь |A| – определитель матрицы А, а a, b, c и d – элементы исходной матрицы А. Таким образом, для нахождения обратной матрицы 2х2, нужно найти определитель исходной матрицы, инвертировать его значение, и затем поменять значения элементов.
Рассмотрим пример решения. Пусть исходная матрица задана следующим образом:
A = [ 5 4 ]
[ 3 2 ]
Для начала, найдём определитель матрицы А:
|A| = 5 * 2 — 4 * 3 = 10 — 12 = -2
Теперь, инвертируем значение определителя:
1/|A| = 1/-2 = -1/2
Затем, поменяем значения элементов матрицы:
A^(-1) = -1/2 * [ 2 -4 ]
[ -3 5 ]
Итак, обратная матрица для данного примера имеет вид:
A^(-1) = [ -1 -2 ]
[ 3/2 -5/2 ]
Таким образом, приведённый пример демонстрирует способ нахождения обратной матрицы 2х2 через определитель исходной матрицы А.
Шаг 1: Находим определитель матрицы
Чтобы найти обратную матрицу 2х2, нам необходимо сначала найти определитель исходной матрицы. Определитель обозначается как det(A) и вычисляется по формуле:
det(A) = a*d — b*c
где a, b, c, d — элементы исходной матрицы:
A = |a b|
|c d|
Для примера, рассмотрим матрицу:
A = |2 3|
|4 5|
Используя формулу для определителя, мы можем вычислить:
det(A) = 2*5 — 3*4 = 10 — 12 = -2
Таким образом, определитель матрицы A равен -2.
Шаг 2: Находим алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы
Алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы размером 2х2 это число, которое получается путем удаления данного элемента и вычисления определителя оставшейся матрицы, умноженного на (-1) в степени суммы индексов элемента. В нашем случае:
Для элемента a: алгебраическое дополнение равно A11 = (-1)1+1 * Determinant11
Для элемента b: алгебраическое дополнение равно A12 = (-1)1+2 * Determinant12
Для элемента c: алгебраическое дополнение равно A21 = (-1)2+1 * Determinant21
Для элемента d: алгебраическое дополнение равно A22 = (-1)2+2 * Determinant22
Таким образом, мы получаем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы.
Шаг 3: Строим матрицу алгебраических дополнений
Для нахождения обратной матрицы 2×2 необходимо построить матрицу алгебраических дополнений. Алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы равно определителю матрицы, полученной после вычеркивания из исходной матрицы строки и столбца, в которых этот элемент находится.
Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента исходной матрицы:
- Для элемента а11:
а11 = 2 а11 = (-1)^(1+1) * (3*0 - 1*4) а11 = -4
а12 = 3 а12 = (-1)^(1+2) * (2*0 - 1*-2) а12 = 2
а21 = 1 а21 = (-1)^(2+1) * (3*1 - 1*3) а21 = -3
а22 = 2 а22 = (-1)^(2+2) * (2*1 - 1*2) а22 = 0
Таким образом, получаем матрицу алгебраических дополнений:
| -4 2 | | -3 0 |
Шаг 4: Транспонируем матрицу алгебраических дополнений
После вычисления матрицы алгебраических дополнений для исходной матрицы, мы переходим к шагу транспонирования этой матрицы. Транспонирование означает замену строк столбцами и столбцов строками.
Для транспонирования матрицы алгебраических дополнений 2×2 мы меняем местами элементы на главной диагонали и оставляем элементы вне диагонали без изменений:
| A B | | A C | | C D | = | B D |
Где A, B, C и D — элементы матрицы алгебраических дополнений.
Теперь полученная транспонированная матрица будет представлять собой обратную матрицу исходной матрицы 2×2.
Шаг 5: Делим транспонированную матрицу на определитель и получаем обратную матрицу
Определитель матрицы можно вычислить следующим образом:
|A| = a*d — b*c
Где a, b, c и d — элементы исходной матрицы:
|A| = (a*d) — (b*c)
Получившийся определитель нам понадобится для деления каждого элемента транспонированной матрицы:
A-1 = (1/|A|) * ((d -b), (-c a))
Где A-1 — обратная матрица, и (d -b), (-c a) — элементы, полученные путем перестановки диагоналей и изменения знаков.
Таким образом, деление каждого элемента транспонированной матрицы на определитель даст нам искомую обратную матрицу размером 2×2.
Пример решения
Рассмотрим матрицу 2×2:
Для нахождения обратной матрицы необходимо вычислить определитель матрицы:
Если определитель матрицы не равен нулю, то матрица обратима и ее обратная матрица вычисляется по формуле:
Таким образом, обратная матрица будет иметь вид:
Например, если дана матрица:
То определитель этой матрицы равен:
Так как определитель не равен нулю, матрица обратима. Обратная матрица будет равна: