Когда дискриминант равен 0 — расчет формулы и примеры

Дискриминант — это одно из важнейших понятий алгебры, которое широко применяется в решении квадратных уравнений. Знание значения дискриминанта позволяет определить, сколько корней имеет данное уравнение и какие они.

Когда дискриминант равен 0, это означает, что у квадратного уравнения есть только один корень. Формула дискриминанта выглядит так:

Д = b² — 4ac

где a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Если дискриминант равен 0, то это означает, что корень уравнения можно найти по формуле:

x = -b / 2a

Пример: рассмотрим квадратное уравнение x² — 4x + 4 = 0. Чтобы найти корни уравнения, сначала нужно найти дискриминант. Подставим значения коэффициентов (a = 1, b = -4, c = 4) в формулу дискриминанта:

Что такое дискриминант?

Квадратное уравнение обычно записывается в виде:

ax² + bx + c = 0

где a, b и c – это коэффициенты уравнения, а x – неизвестная переменная.

Дискриминант выражается следующей формулой:

D = b² — 4ac

Знание дискриминанта позволяет легко определить, какое количество и какие корни имеет квадратное уравнение, и таким образом, упростить решение задачи.

Формула расчета дискриминанта

Дискриминант (D) = b² — 4ac

где:

• b — коэффициент при x в уравнении;
• a — коэффициент при x² в уравнении;
• c — свободный член в уравнении.

Уравнение может иметь три возможных случая в зависимости от значения дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения;
2. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение;
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных решений.

Расчет дискриминанта позволяет определить, сколько действительных корней может иметь уравнение и как их найти.

Как определить значение дискриминанта?

Значение дискриминанта может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Различные значения дискриминанта позволяют определить, сколько корней имеет квадратное уравнение:

• Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень (корень кратности два).
• Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня.

Знание значения дискриминанта позволяет определить тип решения квадратного уравнения и провести соответствующие дальнейшие вычисления.

Когда дискриминант равен 0?

Когда дискриминант равен 0, это означает, что уравнение имеет только один корень. В этом случае корень является вещественным числом и совпадает с вершиной параболы, которая является графиком этого уравнения.

Для нахождения корня квадратного уравнения, когда дискриминант равен 0, используется формула:

x = -b / (2a)

Где a и b — это коэффициенты уравнения вида ax^2 + bx + c = 0.

Например, рассмотрим уравнение 2x^2 + 4x + 2 = 0. Для него коэффициенты равны a=2, b=4 и c=2. Вычисляем дискриминант:

D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4*2*2 = 16 — 16 = 0

Поскольку дискриминант равен 0, уравнение имеет только один корень. Подставляем значения коэффициентов в формулу:

x = -b / (2a) = -4 / (2*2) = -4 / 4 = -1

Таким образом, корень уравнения равен x = -1.

Как решить уравнение с нулевым дискриминантом?

Уравнение с нулевым дискриминантом имеет особенное решение. Когда дискриминант равен нулю, это означает, что уравнение имеет только один корень. Дискриминант определяется по формуле:

Д = b² — 4ac

Если дискриминант равен 0, то формула для нахождения корня упрощается:

x = -b / (2a)

Данный корень является вещественным и кратным, то есть уравнение имеет один действительный корень вида x = k. В таком случае, уравнение можно записать в виде:

a(x — k)² = 0

где k — найденный корень уравнения.

Пример 1:

Рассмотрим уравнение 2x² — 8x + 8 = 0.

Сначала найдем дискриминант:

Д = (-8)² — 4 * 2 * 8 = 64 — 64 = 0.

Поскольку дискриминант равен 0, следовательно, уравнение имеет один корень. Применяем формулу для решения уравнения:

x = -(-8) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2.

Таким образом, решение уравнения 2x² — 8x + 8 = 0 равно x = 2.

Пример 2:

Рассмотрим уравнение x² — 6x + 9 = 0.

Сначала найдем дискриминант:

Д = (-6)² — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

Поскольку дискриминант равен 0, следовательно, уравнение имеет один корень. Применяем формулу для решения уравнения:

x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.

Таким образом, решение уравнения x² — 6x + 9 = 0 равно x = 3.

Примеры решения уравнений с нулевым дискриминантом

Когда дискриминант D равен нулю (D = b^2 — 4ac = 0), уравнение имеет один корень — x = -b/2a.

Приведем несколько примеров решения уравнений с нулевым дискриминантом:

Таким образом, при решении уравнений с нулевым дискриминантом, получаем, что уравнение имеет один корень — расчет осуществляется по формуле x = -b/2a.

Другие свойства уравнений с нулевым дискриминантом

Когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю, это говорит о том, что у уравнения есть только одно решение. Это решение называется двукратным корнем уравнения и имеет особые свойства.

Во-первых, двукратный корень уравнения имеет кратность 2. Это означает, что уравнение можно представить в виде (x — a)^2 = 0, где a — значение двукратного корня. Такое представление позволяет нам упростить дальнейшие вычисления и анализ уравнения.

Во-вторых, график уравнения с двукратным корнем имеет особую форму. В точке двукратного корня график касается оси абсцисс, что означает, что уравнение имеет горизонтальную касательную в этой точке.

Другое важное свойство уравнений с нулевым дискриминантом — все коэффициенты уравнения могут быть выражены через его двукратный корень. Например, если уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, то коэффициенты a, b и c могут быть найдены по следующим формулам:

• a = 1
• b = -2a*a
• c = a*a

Таким образом, зная двукратный корень уравнения, мы можем определить все его коэффициенты.

Примеры уравнений с нулевым дискриминантом:

1. x^2 = 0

В данном случае двукратным корнем уравнения будет 0. Подставив это значение в формулы для нахождения коэффициентов, мы получим a = 1, b = 0, c = 0.

2. 4x^2 — 4x + 1 = 0

У данного уравнения также будет двукратный корень, равный 0. Вычисляя коэффициенты по формулам, мы получим a = 1, b = 0, c = 0.

Значение нулевого дискриминанта в геометрическом контексте

Когда дискриминант равен нулю ($D = 0$), это означает, что уравнение имеет ровно один корень, то есть одинаковые корни. Геометрически это соответствует ситуации, когда график функции пересекает ось $Ox$ в одной точке.

Представим себе параболу, образуемую графиком функции $y = ax^2 + bx + c$. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси $Ox$ в одной точке. Это может происходить, например, когда вершина параболы находится на оси $Ox$. В этом случае парабола не пересекает ось $Ox$ ниже и выше вершины, а лишь касается ее в точке. Также возможна ситуация, когда парабола находится полностью на оси $Ox$ и имеет лишь одну точку соприкосновения с ней.

Значение нулевого дискриминанта в геометрическом контексте говорит о том, что парабола касается оси $Ox$ в одной точке и не пересекает ее выше и ниже этой точки.

Применение уравнений с нулевым дискриминантом в практике

Уравнения с нулевым дискриминантом играют важную роль в математике и находят свое применение в практических задачах различных областей.

Одной из основных областей, где используются уравнения с нулевым дискриминантом, является физика. Например, при расчете траектории движения тела в пространстве можно столкнуться с уравнением, где дискриминант равен нулю. В этом случае полученное решение позволяет определить особую точку траектории, например, место, где тело достигает максимальной высоты или оборачивается.

В инженерии также часто используют уравнения с нулевым дискриминантом для решения различных задач. Например, при проектировании мостов и сооружений важно знать, в каких точках будет иметься нарушение равновесия или какие параметры нужно задать, чтобы избежать возможных проблем.

Уравнения с нулевым дискриминантом также широко применяются в экономике и финансах. Например, при анализе доходности инвестиций или валютных операций возникает необходимость решения квадратных уравнений, где дискриминант равен нулю. Это позволяет определить, когда инвестиции окупятся или при каком курсе валюты операция будет выгодной.

Таким образом, уравнения с нулевым дискриминантом являются неотъемлемой частью различных практических задач и позволяют находить информацию о различных процессах и явлениях. Знание и применение этих уравнений является важным навыком для различных специалистов и позволяет делать более точные расчеты и прогнозы.