Два линейно зависимых вектора — условие и примеры

Линейная зависимость векторов представляет собой ситуацию, когда один вектор может быть получен путем умножения другого вектора на скаляр. В случае, если два вектора являются линейно зависимыми, это означает, что каждый из них может быть представлен как линейная комбинация другого. Это важное понятие в линейной алгебре и имеет несколько применений в различных областях, включая физику, компьютерную графику и экономику.

Условием, при котором два вектора являются линейно зависимыми, является следующее: существуют такие числа (скаляры), которые не равны нулю одновременно, что при их умножении на соответствующие вектора сумма этих произведений будет равна нулевому вектору. Для двух векторов a и b это можно записать следующим образом: k₁a + k₂b = 0, где k₁ и k₂ — числа не равные нулю. Если эти параметры существуют, то векторы a и b будут линейно зависимыми.

Приведем несколько примеров, чтобы проиллюстрировать, как это работает на практике. Рассмотрим два вектора a = (1, 2) и b = (2, 4). Заметим, что вектор b можно получить путем умножения вектора a на число 2. То есть, 2a = b. Это означает, что векторы a и b являются линейно зависимыми.

Условие линейной зависимости двух векторов

Два вектора называются линейно зависимыми, если существуют такие числа (коэффициенты), которые не все равны нулю, и их комбинация линейно равна нулевому вектору.

Математически, условие линейной зависимости двух векторов a и b записывается следующим образом:

a * k₁ + b * k₂ = 0

где k₁ и k₂ — произвольные реальные числа, и не оба равны нулю.

Примеры:

1. Рассмотрим два вектора в трехмерном пространстве:

a = (1, 2, 3) и b = (2, 3, 4)

Чтобы проверить их линейную зависимость, мы должны найти такие ненулевые значения для k₁ и k₂, которые удовлетворяют условию:

1 * k₁ + 2 * k₂ = 0

2 * k₁ + 3 * k₂ = 0

3 * k₁ + 4 * k₂ = 0

Решая эту систему уравнений, мы получаем:

k₁ = 0 и k₂ = 0

Таким образом, векторы a и b являются линейно независимыми.

2. Рассмотрим другие два вектора в трехмерном пространстве:

c = (1, 2, 3) и d = (2, 4, 6)

По аналогии с предыдущим примером, мы можем записать уравнения:

1 * k₁ + 2 * k₂ = 0

2 * k₁ + 4 * k₂ = 0

3 * k₁ + 6 * k₂ = 0

В данном случае система уравнений имеет решение:

k₁ = -2 и k₂ = 1

Следовательно, векторы c и d линейно зависимы.

Определение и свойства

Два вектора в линейном пространстве называются линейно зависимыми, если один из них может быть выражен в виде линейной комбинации другого вектора.

Следующие свойства линейно зависимых векторов являются ключевыми:

• Если два вектора линейно зависимы, то их определитель равен нулю.
• Линейно зависимые векторы лежат в одной плоскости, что значит, что можно найти такие коэффициенты, при которых один вектор может быть представлен через другой.
• Если один из векторов равен нулевому вектору, то все оставшиеся вектора между собой также линейно зависимы.
• Если два вектора коллинеарны, то они также являются линейно зависимыми.

Примерами линейно зависимых векторов могут служить векторы, направленные в одну прямую линию или параллельные оси координат.

Критерии и условия линейной зависимости

Основным условием линейной зависимости двух векторов является то, что один из векторов может быть выражен как линейная комбинация другого. Другими словами, если векторы a и b являются линейно зависимыми, то они удовлетворяют условию:

где k — некоторое число, не равное нулю.

Другими словами, линейная зависимость означает, что векторы выровнены вдоль одной прямой или сонаправлены.

Примерами векторов, которые являются линейно зависимыми, могут служить следующие пары:

или

Оба этих примера подтверждают условие линейной зависимости, так как векторы a и b могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. В первом примере это будет выглядеть следующим образом:

Во втором примере:

Таким образом, векторы [2, 4] и [1, 2] являются линейно зависимыми, а также векторы [3, -6] и [-1, 2].

Примеры линейно зависимых векторов

Линейная зависимость двух векторов означает, что данные векторы можно получить путем линейной комбинации друг друга. Ниже приведены примеры линейно зависимых векторов:

Пример 1:

Рассмотрим векторы A и B:

A = [2, 4, 6]

B = [1, 2, 3]

Мы можем заметить, что вектор A может быть получен путем умножения вектора B на 2:

A = 2B

Это означает, что векторы A и B линейно зависимы, так как один можно получить путем линейной комбинации другого.

Пример 2:

Рассмотрим векторы C и D:

C = [3, 5, 7]

D = [1.5, 2.5, 3.5]

Вектор C может быть получен путем умножения вектора D на 2:

C = 2D

Таким образом, векторы C и D также являются линейно зависимыми.

Пример 3:

Рассмотрим векторы E и F:

E = [1, 2, 3]

F = [2, 4, 6]

Вектор F может быть получен путем умножения вектора E на 2:

F = 2E

Следовательно, векторы E и F также линейно зависимы.

Это лишь некоторые примеры линейно зависимых векторов. Векторы могут быть линейно зависимыми величинами, если один из них может быть выражен в виде линейной комбинации другого или если они коллинеарны (лежат на одной прямой).

Пример 1: Два одинаковых вектора

Рассмотрим пример двух векторов: вектор a = (3, 5, -2) и вектор b = (3, 5, -2). Координаты обоих векторов совпадают, поэтому они являются одинаковыми. Таким образом, векторы a и b являются линейно зависимыми.

Можно проверить линейную зависимость векторов с помощью уравнения:

ka + lb = 0

В данном случае, если мы возьмем k = l = 1, то получим:

Мы получили вектор, который равен нулевому вектору, что говорит о линейной зависимости данных векторов.

Пример 2: Два противоположных вектора

Если векторы направлены в противоположные стороны и имеют одинаковую длину, то они будут линейно зависимыми. Такие векторы называются противоположными или антипараллельными.

Например, рассмотрим два вектора:

вектор a: (3, -2)

вектор b: (-3, 2)

Вектор a имеет длину 3, и его направление указывает вниз и налево. Вектор b имеет ту же длину, но его направление указывает вверх и направо. Таким образом, векторы a и b являются противоположными и линейно зависимыми.

Противоположные векторы имеют следующие свойства:

• Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: a + b = 0
• Противоположный вектор имеет противоположное направление, но ту же длину: -a = b

Пример 3: Два коллинеарных вектора

Рассмотрим пример двух коллинеарных векторов:

a = 3i + 4j

b = 6i + 8j

В данном примере вектор b можно получить, умножив вектор a на 2:

b = 2a

Таким образом, векторы a и b линейно зависимы и коллинеарны, так как они лежат на одной прямой и могут быть выражены через один и тот же вектор с помощью скалярного множителя.

Пример 4: Два вектора на плоскости, лежащей на одной прямой

Внутри плоскости пространства есть бесконечное количество прямых, и иногда два вектора могут лежать на одной прямой. Рассмотрим такой пример.

Пусть у нас есть два вектора:

u = (2, 4)

v = (-1, -2)

Чтобы убедиться, что эти векторы лежат на одной прямой, мы можем проверить их линейную зависимость. Для этого нужно выяснить, существуют ли такие числа k и l, что u = k*v.

Подставим в уравнение значения векторов:

(2, 4) = k*(-1, -2)

Теперь раскроем скобки:

2 = —k

4 = -2k

Из первого уравнения можем выразить k:

k = -2

Тогда из второго уравнения получаем:

4 = -2*(-2)

4 = 4

В результате мы получили равенство, что означает, что векторы u и v лежат на одной прямой. Их можно представить как некоторую линейную комбинацию друг друга с коэффициентом k.