Система дискретных дополнений (сДНФ) является одним из способов представления логической функции и позволяет выразить ее через конъюнкции и дизъюнкции литералов. Для составления такой формы функции необходимо иметь таблицу истинности, в которой приведены значения функции для всех возможных комбинаций переменных.
Составление сДНФ по таблице истинности требует последовательного применения нескольких шагов. Первым шагом является выделение строк с положительными значениями функции. Строки, в которых функция принимает значение 1, логически эквивалентны полиномам, в которых все переменные принимают значение 1. Таким образом, их можно объединить в дизъюнкцию с помощью операции «ИЛИ».
Вторым шагом составления сДНФ является запись конъюнкций, полученных на первом шаге. Каждая переменная, значение которой не влияет на функцию (она может принимать и 1, и 0), заменяется соответствующим литералом (или его отрицанием). Также можно воспользоваться свойством исключающего ИЛИ и заменить конъюнкцию двух литералов на их отрицание.
Третий и последний шаг — сокращение сДНФ. Производится проверка каждой конъюнкции на возможность упрощения. Если в конъюнкции присутствует литерал, значение которого всегда равно 1 или 0, конъюнкцию можно упростить, заменив ее этим литералом. Таким образом, получается сДНФ, представляющая логическую функцию исходной таблицы истинности.
Составление сДНФ по таблице истинности позволяет легко и компактно представить логическую функцию, упрощает ее анализ и приводит к более эффективной реализации логических схем и алгоритмов.
Как составить сДНФ по таблице истинности?
Чтобы составить сДНФ по таблице истинности, следуйте нижеприведенным шагам:
- Определите количество переменных. Посмотрите на столбцы таблицы истинности, чтобы определить, сколько переменных присутствует в выражении. Запишите их в порядке появления в таблице истинности. Например, если у вас есть три переменные A, B и C, запишите их как A, B, C.
- Определите конъюнкции. Проанализируйте строки таблицы истинности и найдите те строки, где выражение истинно. Запишите значения переменных для каждой из этих строк в виде конъюнкции. Например, если выражение истинно для строк 1 и 4, а значения переменных в этих строках равны A=0, B=1, C=1, то конъюнкции будут выглядеть следующим образом: (¬A∧B∧C) и (¬A∧¬B∧C).
- Составьте сДНФ. Сложите конъюнкции из предыдущего шага в единую дизъюнкцию, чтобы составить сДНФ. Используйте символ конъюнкции (∨) для объединения конъюнкций. Например, для конъюнкций (¬A∧B∧C) и (¬A∧¬B∧C), сДНФ будет выглядеть следующим образом: (¬A∧B∧C) ∨ (¬A∧¬B∧C).
- Упростите сДНФ (при необходимости). В некоторых случаях сДНФ может быть упрощена. Найдите конъюнкции, которые являются тождественно истинными или тождественно ложными, и удалите их из сДНФ. Это может помочь упростить выражение и сделать его более компактным.
| A | B | C | Выражение |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
В данном примере сДНФ будет выглядеть следующим образом: (¬A∧B∧C) ∨ (¬A∧¬B∧C) ∨ (A∧¬B∧C) ∨ (A∧B∧¬C) ∨ (A∧B∧C).
Составление сДНФ по таблице истинности может показаться сложным, но с практикой вы станете лучше в этом. Важно тщательно анализировать таблицу истинности и правильно производить логические операции для составления сДНФ.
Алгоритм составления сДНФ по таблице истинности
Алгоритм составления сДНФ по таблице истинности:
- Построение таблицы истинности. Для начала необходимо составить таблицу истинности для заданной булевой функции. В таблице указываются все возможные варианты значений переменных и результаты соответствующих вычислений функции.
- Выбор дизъюнкций. Из таблицы истинности выбираются строки, в которых функция равна единице. Каждой такой строке соответствует дизъюнкция литералов. На этом шаге получается совокупность дизъюнкций, которые приводят функцию к истинности.
- Формирование конъюнкций. С различными комбинациями логических значений переменных из дизъюнкций, полученных на предыдущем шаге, образуются конъюнкции. Каждая конъюнкция представляет собой выражение из литералов, участвующих в этой конъюнкции.
- Составление сДНФ. СДНФ получается путем объединения всех полученных конъюнкций по правилам дизъюнкции.
Алгоритм составления сДНФ по таблице истинности позволяет представить функцию в компактной форме и упростить ее логический анализ и оценку.
Пошаговая инструкция составления сДНФ
СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) представляет собой логическое выражение, составленное из дизъюнкций (логическое ИЛИ) и переменных, таким образом, чтобы оно принимало значение TRUE только при наличии определенных комбинаций значений переменных.
- Вычислите размерность сДНФ, который будет равен количеству переменных, отображенных в таблице истинности.
- Запишите в сДНФ все строки таблицы истинности с результатом TRUE. Каждая строка будет представлена как дизъюнкция переменных вида (A ^ B ^ C …), где А, В, С — значения переменных в данной строке.
- Если в таблице истинности есть строки с результатом FALSE, запишите их отрицание в сДНФ. Каждая строка будет представлена как конъюнкция отрицания переменных вида (¬A ^ ¬B ^ ¬C …), где ¬А, ¬В, ¬С — отрицания значений переменных в данной строке.
- Объедините все дизъюнкции в единую сДНФ, используя логическое ИЛИ.
Таким образом, вы получите сДНФ, которое эквивалентно исходной таблице истинности, и будет включать все возможные комбинации значений переменных, при которых выражение принимает значение TRUE.
Шаг 1: Записать все комбинации переменных и значений истинности
Для составления сокращенной дизъюнктивной нормальной формы (сДНФ) по таблице истинности необходимо начать с записи всех комбинаций переменных и соответствующих им значений истинности.
Пусть у нас имеется n переменных, обозначим их как A1, A2, …, An. Каждая переменная может принимать значение 0 (ложь) или 1 (истина).
Для каждой из n переменных составим таблицу значений, где первый столбец будет содержать все возможные комбинации переменных, а второй столбец — соответствующие им значения истинности.
Например, для трех переменных A, B и C будут существовать 2^3 = 8 комбинаций:
| Комбинация | Значение истинности |
|---|---|
| 0 0 0 | 0 |
| 0 0 1 | 1 |
| 0 1 0 | 1 |
| 0 1 1 | 0 |
| 1 0 0 | 1 |
| 1 0 1 | 0 |
| 1 1 0 | 0 |
| 1 1 1 | 1 |
Записав все комбинации переменных и соответствующие значения истинности, можно переходить к следующему шагу — составлению сДНФ на основе этой таблицы.