Косинус – одна из основных тригонометрических функций, широко используемая в математике и физике. Значения косинуса могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от угла, на который он будет применяться. В этой статье мы рассмотрим, как и когда косинус может быть положительным или отрицательным, и дадим наглядные примеры для лучшего понимания.
Косинус обычно определяется как отношение длины прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного углом. В зависимости от значения этого угла косинус может быть положительным или отрицательным. Если угол лежит в первой или второй четверти, то косинус будет положительным. Это происходит потому, что прилежащий катет будет положительной величиной, а гипотенуза всегда положительна.
Однако, если угол лежит в третьей или четвертой четверти, косинус будет отрицательным. Это происходит потому, что прилежащий катет будет отрицательной величиной, а гипотенуза всегда положительна. Таким образом, величина косинуса будет меняться в зависимости от угла, на который он применяется.
Когда косинус является положительным или отрицательным
Значение косинуса может быть положительным или отрицательным в зависимости от квадранта, в котором находится угол.
В первом квадранте (от 0° до 90°) косинус является положительным. Например, косинус угла 30° равен 0,866.
Во втором квадранте (от 90° до 180°) косинус также является положительным. Например, косинус угла 120° равен -0,5.
В третьем квадранте (от 180° до 270°) косинус становится отрицательным. Например, косинус угла 210° равен -0,866.
В четвертом квадранте (от 270° до 360°) косинус снова является положительным. Например, косинус угла 315° равен 0,707.
Из этого следует, что косинус положителен в первом и четвертом квадрантах, а отрицателен во втором и третьем.
| Угол | Квадрант | Косинус |
|---|---|---|
| 30° | Первый | 0,866 |
| 120° | Второй | -0,5 |
| 210° | Третий | -0,866 |
| 315° | Четвертый | 0,707 |
Косинус как функция угла
Значение косинуса может быть положительным, отрицательным или нулевым в зависимости от значения угла. Когда угол находится в первой или четвертой четверти, косинус является положительным. В первой четверти косинус равен положительному значению стороны прилежащего катета к гипотенузе. В четвертой четверти косинус также равен положительному значение стороны прилежащего катета к гипотенузе, но в отношении по отрицательной стороне оси X.
Когда угол находится во второй или третьей четверти, косинус становится отрицательным. Во второй четверти косинус равен отрицательному значению стороны прилежащего катета к гипотенузе. В третьей четверти косинус также равен отрицательному значению стороны прилежащего катета к гипотенузе, но в отношении по отрицательной стороне оси Y.
В случае нулевого значения угла, косинус равен 1, так как сторона прилежащего катета равна гипотенузе. Это происходит при значении угла 0° или 180°.
Пример:
Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 5, 12 и гипотенузой 13. Угол α находится в первой четверти. Косинус этого угла будет равен отношению 5/13.
cos(α) = 5/13 ≈ 0.384615
Косинус и четверти на координатной плоскости
На координатной плоскости косинус можно интерпретировать как абсциссу точек, лежащих на единичной окружности. Отмечая значения косинуса на оси абсцисс в различных точках на окружности, можно представить, в каких четвертях косинус положительный или отрицательный.
В первой четверти косинус положителен, так как значения абсциссы на окружности больше нуля.
Во второй четверти косинус отрицателен, так как значения абсциссы на окружности меньше нуля.
В третьей четверти косинус также отрицателен, так как значения абсциссы на окружности меньше нуля.
В четвертой четверти косинус положителен, так как значения абсциссы на окружности больше нуля.
Примеры положительного и отрицательного косинуса
Значение косинуса функции может быть положительным или отрицательным в зависимости от угла, в пределах от 0 до 180 градусов. Рассмотрим несколько примеров для наглядного объяснения.
- В прямоугольном треугольнике, у которого гипотенуза прилегает к оси X, значение косинуса будет положительным для угла между катетом и гипотенузой. Например, при угле 30 градусов, косинус будет равен √3/2.
- Если взять угол 90 градусов, то косинус будет равен 0. Это связано с тем, что косинус 90 градусов соответствует перпендикулярной оси Y и равен нулю.
- Для угла 135 градусов косинус будет отрицательным, так как в данном случае он отрицателен на оси X. Косинус угла 135 градусов будет равен -√2/2.
- Если угол равен 180 градусов, то косинус будет снова равен 0, так как ось X становится перпендикулярной.
Таким образом, косинус является положительным для углов от 0 до 90 градусов и отрицательным для углов от 90 до 180 градусов. Эти примеры облегчают понимание того, как косинус может быть положительным или отрицательным в различных ситуациях.