Формула решения квадратного уравнения при отрицательном дискриминанте — как найти корни исходя из формулы их существования

Решение квадратного уравнения – одна из базовых задач в математике, которая позволяет найти значения неизвестной переменной и понять, при каких условиях оно существует. Квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты, заданные числа, а x – неизвестная переменная.

Один из важных моментов решения квадратного уравнения – определение дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac. Полученное значение дискриминанта позволяет определить, сколько корней имеет уравнение и какие именно. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. А если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

В случае отрицательного дискриминанта, решение квадратного уравнения можно получить с помощью мнимых чисел. Раскрывая квадратный корень в формуле решения, мы получаем два комплексных корня, имеющих вид:

x1 = (-b + √(|D|) * i) / (2a)

x2 = (-b — √(|D|) * i) / (2a)

Где i – мнимая единица, √ – квадратный корень. Такие корни называются комплексно-сопряженными, они имеют место быть только при отрицательном дискриминанте.

Квадратное уравнение

Задача заключается в том, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют данному уравнению. Решение квадратного уравнения может иметь три вида: два различных действительных корня, два одинаковых действительных корня или комплексные корни.

Для нахождения корней квадратного уравнения существует формула дискриминанта: D=b²-4ac. Из значения дискриминанта можно определить тип решения уравнения:

• Если D>0, то уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если D=0, то уравнение имеет два одинаковых действительных корня.
• Если D<0, то уравнение имеет два комплексных корня.

Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида x₁ = (-b+i√|D|)/2a и x₂ = (-b-i√|D|)/2a.

Таким образом, решение квадратного уравнения по формуле дискриминанта позволяет найти все возможные значения x, удовлетворяющие данному уравнению.

Дискриминант

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле:

Значение дискриминанта определяет возможные варианты корней:

• Если дискриминант больше нуля (D > 0), то у уравнения два различных действительных корня.
• Если дискриминант равен нулю (D = 0), то у уравнения один действительный корень, который является двойным.
• Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то уравнение не имеет действительных корней и имеет два комплексных корня.

Отрицательный дискриминант

Пусть у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты, причем дискриминант D = b^2 — 4ac < 0.

В этом случае, при отрицательном дискриминанте, решение квадратного уравнения можно представить в следующей формуле:

• x1 = (-b + √(-D))/(2a)
• x2 = (-b — √(-D))/(2a)

Здесь √(-D) обозначает мнимую часть числа, то есть квадратный корень из отрицательного числа.

Например, рассмотрим уравнение x^2 + 2x + 5 = 0. Его дискриминант вычисляется по формуле D = 2^2 — 4 * 1 * 5 = -16. Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Решение данного уравнения с отрицательным дискриминантом будет выглядеть следующим образом:

• x1 = (-2 + √(-(-16)))/(2 * 1) = (-2 + 4i)/2 = -1 + 2i
• x2 = (-2 — √(-(-16)))/(2 * 1) = (-2 — 4i)/2 = -1 — 2i

Таким образом, решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом включает в себя мнимые числа, представленные в виде a + bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, √(-1).

Формула решения

Для решения квадратного уравнения при отрицательном дискриминанте (D < 0) используется формула:

x = (-b ± √D) / (2a),

где D = b^2 — 4ac — дискриминант.

Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней, так как под корнем находится отрицательное число. В этом случае решение уравнения будет комплексным.

Итак, для нахождения корней квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом, необходимо вычислить корень из дискриминанта и обратиться к формуле, используя знаки «плюс» и «минус» перед корнем.

Пример

Допустим, у нас есть квадратное уравнение:

2x^2 + 5x — 3 = 0

Для начала необходимо вычислить дискриминант по формуле:

D = b^2 — 4ac

Где:

a — коэффициент при x^2 (в данном примере равен 2)

b — коэффициент при x (в данном примере равен 5)

c — свободный член (в данном примере равен -3)

Подставляем значения в формулу и получаем:

D = 5^2 — 4 * 2 * (-3)

D = 25 + 24

D = 49

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных вещественных корня.

Далее, мы можем использовать формулы для нахождения корней:

x_1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)

x_2 = (-b — sqrt(D)) / (2a)

Подставляем наши значения:

x_1 = (-5 + sqrt(49)) / (2 * 2)

x_2 = (-5 — sqrt(49)) / (2 * 2)

Далее, вычисляем:

x_1 = (-5 + 7) / 4

x_2 = (-5 — 7) / 4

x_1 = 2 / 4

x_2 = -12 / 4

x_1 = 0.5

x_2 = -3

Таким образом, квадратное уравнение 2x^2 + 5x — 3 = 0 имеет два корня: x_1 = 0.5 и x_2 = -3.